閉検定手順(closed testing procedure)

多重比較と言えばTukeyという世界で育った私にとって，会社に入って聞く「閉手順」とはいったい何ぞや？と思ってました。インターネットレベル（日本語）だとうまいこと分からなかったので，最終手段である「統計的多重比較法の基礎＠永田＆吉田著」を購入して調べることにしました。

統計的多重比較法の基礎

閉検定手順とは，

Q⊃Pとなるすべての仮説H_QおよびH_Pがそれぞれ比較あたりの有意水準αで棄却されるときにのみH_Pを棄却するという条件

で各仮説を検定する方法（当該文献参照）とありました。簡単に言えば，ある帰無仮説を棄却するのは，それを誘導する帰無仮説を棄却できた場合のみという方法です。3群の母平均μ1，μ2，μ3を例に考えます。帰無仮説μ1＝μ2は，帰無仮説μ1＝μ2＝μ3より誘導されます。よって，閉検定手順では，帰無仮説μ1＝μ2＝μ3が棄却された場合のみ帰無仮説μ1＝μ2を棄却できるという条件のもとでμ1＝μ2の検定を行います。
なんとなく想像できましたでしょうか？出来なかったら素直に上記の本を買うことをオススメします。
で，問題は何かと言いますと，そういう手順で検定を行えば，全体の第一種の過誤の確率（type I familywise error rate; type I FWE）は有意水準αに抑えられるという証明。先ほどの誘導される帰無仮説をH_P（添え字はi），誘導元の帰無仮説をH_Qと考えると，以下の式が成り立ちます（当該文献参照）。

タイプ1FWE＝Pr（少なくとも1つのH_Piを棄却｜H_Qが正しい）
　　　　　≦Pr（H_Qを棄却｜H_Qが正しい）
　　　　　≦α

この2式目がさっぱり分からない（分からなかった）。2式目の方が確率が減るならまだしも，増えるなんて！！とずーーーーーーーーっと考えてました（多重性を考えたりしました）。で，さっきようやく分かりました。キーワードは閉検定手順だったのです。前述したあの条件の下では，2式目が成り立つのです。H_Piを棄却するのは，H_Qを棄却したとき。H_Q棄却を条件とした条件付確率を考えれば，確かに成り立つのです。すげぇよ，閉検定手順。そして多重比較。